【事前学習】高校の行列、一次変換の基礎事項、ベーシックは 1-1〜1-3節、エキスパートは2-1〜2-2節を学んできてください。
座標変換（補足）
Coordinate Transformation
ベーシックの学習ポイント
- 一次変換と平行移動の組み合わせであるアフィン変換のうち、一次変換の種類を把握しておく。回転、スキュー、y=xに関する鏡映までは押さえておく。
- 回転は理解も大事だが、念のため式の形を憶えておく。左上と右下がcos、右上と左下がsin、右上はマイナス。
- スキューは、横方向なら、高さyの値に比例して横にずらす量が増加する。
- y=xに関する鏡映はxとyを入れ替える。
- 図形の場合は、図形の中心やいずれかの頂点など、特徴的な点に着目して、その座標を変換式に代入する。
エキスパート2024年前期 第2問
- 回転方向は軸方向にねじを締めるとき右向き、x軸回転ならy軸正からz軸正方向。y軸回転はz軸正からx軸正方向と循環順なのでさらに注意。
- 最初の回転でウ、エは脱落。ア、イは回転は正しいが、平行移動で成否が決まる。
- 左上３X３行列の回転が正しいのはエだけなので、これだけで正解がわかる。ちなみに回転→平行の順なら、右上の平行移動部分が(0,1.0)となるのだが、平行移動が先だと、平行移動分も回転するので(0,1,0)をz軸回りに-90°回転させた(1,0,0)となっている。
- これも左上３X３行列がx軸回りに90°回転なのはアだけなので、これが正解。平行移動はz軸に対してであるが、行列は右から左に変換が進むので、これも平行移動してから回転。y軸に1平行移動されてから回転していることがわかる必要がある。
エキスパート2023年後期 第2問
- 回転方向の説明に注意。左上2X2行列がxy平面の回転になっているのはウ、エだがそのうち90°回転なのはエだけ。回転->平行移動の順なので、一番右の列が上から(0,0,1)になっている。
- 行列は右から適用となる。右はy軸回転で90°か-90°かは迷うかもしれないが、そのどちらでもロケットはx軸上にくる。そして、その後x方向に-2移動してもx軸上のまま、かつ噴射口が原点から１離れている。左はz軸回転の90°か-90°で、変換後y軸上に乗ることからアだとわかる。
- まず、回転だけに着目すると、ア、イはx軸上に乗るので間違いだとわかる。ウ、エを見分けるには90°か-90°かわかる必要がある。
- 平行移動が最後なので一番右の列が上から(0,1,0)のアorウ。垂直尾翼に着目すると最初y方向なのがz方向に変換されていることからウだとわかる。行列の左から二列目が(0,0,1)となっている。
エキスパート2023年前期 第2問
- $z$軸回りに$-90$°回転（右ねじ回転が正）と$x$軸方向に２平行移動。順序は回転、平行移動。行列表現では右から左へ順に変換が適用される。
- 回転が合うのはウだけ。最後に$z$方向に平行移動するのも合っている。
- 回転が合うのはイだけ。最初に$y$方向に平行移動するのも合っている。
- エだけが、回転軸が$x$軸、平行移動も$x$軸方向で、回転軸と平行移動の方向が共通している。
（公式問題集の補足解説）
エキスパート練習問題１第１問 (p.10)
- X方向の正の方向に平行移動 → $c=正の数, f=0$
変形がない → 3×3行列の要素のうち $abde=1001$（単位行列）
答えは$M_1$（ア） - Xの正の方向への平行移動と$+45^\circ$回転の合成
平行移動と回転はどっちが先か？
回転は原点中心なので、平行移動→$+45^\circ$ だとリンゴの中心はX軸から外れるので誤り
正解は $+45^\circ$回転→平行移動
$+45^\circ$回転は一見して $M_5$または$M_6$、正の回転（反時計回り）なので3×3行列の$b=-\sin\theta<0$となっている $M_5$
つまり $M_5$→$M_1$
ただし変換行列は $P'=M_1 M_5 P$ というように右から順にかかっていく
よって合成変換は $M_1 M_5$ （ア） - X方向への平行移動→$+90^\circ$回転 または $+90^\circ$回転→Y方向への平行移動
回答群にあるのはX方向への平行移動→$+90^\circ$回転 つまり $M_1$→$M_4$
ただし変換行列は $P'=M_4 M_1 P$ というように右から順にかかっていく
よって合成変換は $M_4 M_1$ （オ） - Y軸対称、Yの正の方向への平行移動、$+90^\circ$回転の合成
c.を更にY軸対称して得られるので$M_3 M_4 M_1$（ウ）
エキスパート練習問題２第１問 (p.36)
- 赤丸がy軸の正の方向、黒丸がx軸の正の方向にくる。
- 赤丸に着目するとア、ウだとx軸の負の方向にくることから誤答。黒丸に着目するとアだとy軸の負の方向にくる、イだとx軸の正の方向にくることから誤答。
- アはz軸回転、イはx軸回転、ウ、エは座標軸回転ではない。
- x軸-90°回転なのはアとイ。行列はz軸方向への平行移動だが図ではy軸方向に移動している。そのためには先に平行移動して回転するアが正解。変換は後ろの行列から順に行われる。ウ、エはz軸回転なので誤答。
エキスパート練習問題３第１問 (p.62)
- たとえば１の目に着目すると変換後x軸の正の方向にくる。
- 平行移動は無視して回転のみに着目するとイまたはエに絞れる。このうち平行移動が正しいのはイ
- z軸90°回転なのはアとイ。このうちy軸の負の方向への平行移動が先なのはア。
- x軸-90°回転なのはイとエ。平行移動があとになるように考えるとz軸の正の方向へ平行することと等価なのでエ。
ベーシック第１問 (p.86)
- 座標変換式に代入して$(x,y)=(2,0)$→$(x',y')=(2,0)$、$(x,y)=(0,2)$→$(x',y')=(2,2)$$(x,y)=(2,2)$→$(x',y')=(4,2)$となるものを見つける。変換式を見れば、どういった図形変換かわかるようにしておく。X方向へのせん断（スキュー）なのでy座標は不変なアだとわかる。
- X方向に1/3、Y方向に1/3拡大縮小して、Y方向に-1平行移動。座標変換式に代入して$(x,y)=(3,3)$→$(x',y')=(1,0)$となるものなどを絞っていく。
アフィン変換
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x'=\frac{1}{3}x\\ y'=\frac{1}{3}y-1 \end{array} \right. \end{eqnarray} $ $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x'=\frac{1}{3}x +0y +0\\ y'=0x +\frac{1}{3}y -1 \end{array} \right. \end{eqnarray} $
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} &0\\0 &\frac{1}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}$
アフィン変換の同次座標表現
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} &0 &0\\0 &\frac{1}{3} &-1\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$
- 軸対称と平行移動だけでは、赤と白の位置が入れ替わらない。
エ.のアフィン変換の同次座標表現
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &5\\0 &1 &0\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 &-1 &0\\1 &0 &0\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &-1 &5\\1 &0 &0\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$
- 回転の前に原点を通るように平行移動する必要がある。
アフィン変換
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x'=x+y\\ y'=y \end{array} \right. \end{eqnarray} $ $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x'=1x +1y +0\\ y'=0x +1y +0 \end{array} \right. \end{eqnarray} $
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &1\\0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
アフィン変換の同次座標表現
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &1 &0\\0 &1 &0\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$
ベーシック24年前期27問の変換式
Transformation Equation in Basic Question
a.のアフィン変換
$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=x+5\\
y'=y-4
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=1x +0y +5\\
y'=0x +1y -4
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0\\0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}$
同次座標表現
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &5\\0 &1 &-4\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$
b.のアフィン変換
$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=\frac{1}{2}x\\
y'=\frac{1}{2}y
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=\frac{1}{2}x +0y +0\\
y'= 0x +\frac{1}{2}y +0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} &0\\0 &\frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
同次座標表現
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} &0 &0\\0 &\frac{1}{2} &0\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$
c.アのアフィン変換
$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=x\\
y'=-y+6
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=1x +0y+0\\
y'=0x -1y+6
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0\\0 &-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$
同次座標表現
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &0\\0 &-1 &6\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$
c.イのアフィン変換
$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=-x+6\\
y'=y
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=-1x +0y +6\\
y'= 0x +1y +0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 &0\\0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}$
同次座標表現
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 &0 &6\\0 &1 &0\\0 &0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$
エキスパート24年前期１問の解説
Matrix Explanation
- Y方向の正の方向に平行移動 → $c=0, f=$正の数
変形がない → 3×3行列の要素のうち $abde=1001$（単位行列）
答えは$M_2$（イ） - Yの正の方向への平行移動と$-45^\circ$回転の合成
平行移動と回転はどっちが先か？
回転は原点中心なので、平行移動→$-45^\circ$回転 だとオブジェクトの中心はY軸から外れるので誤り
正解は $-45^\circ$回転→平行移動
$-45^\circ$は一見して $M_4$または$M_5$、負の回転（時計回り）なので3×3行列の$d=-\sin\theta<0$となっている $M_5$
つまり $M_5$→$M_2$
ただし変換行列は $P'=M_2 M_5 P$ というように右から順にかかっていく
よって合成変換は $M_2 M_5$ （ウ） - Yの正の方向への平行移動と$+45^\circ$回転の合成
ただし今度は、平行移動→$+45^\circ$回転
$+45^\circ$回転は $M_4$
つまり $M_2$→$M_4$
ただし変換行列は $P'=M_4 M_2 P$ というように右から順にかかっていく
よって合成変換は $M_4 M_2$ （オ） - Y軸対称、Yの正の方向への平行移動、$+45^\circ$回転の合成
つまり $M_3$→$M_2$→$M_5$
よって合成変換は$M_3$→$M_2$→$M_5$（イ）
（図３を更にY軸対称しても得られるが $M_5$→$M_2$→$M_3$ は解答群にない。）
【事後学習】公式問題集のエキスパート、ベーシック共に各回の第１問は座標変換の問題です。これらの問題を全て解けるようになってください。
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