【事前学習】 高校のベクトル単元の位置ベクトルについて復習しておきましょう。

位置ベクトル
Position Vector

平面上では、すべてのベクトルの始点を共通の点とした場合、ベクトルの終点のみが意味をもちます。このようなベクトルを位置ベクトル（または座標ベクトル）と呼びます。この場合ベクトルの終点は、2次元座標系における位置という情報を表します。このように位置ベクトルを介することにより、ベクトルと座標系という２つの概念を相互に結び付けることができ、様々な問題を明瞭に解くことができるようになります。

（以下は内分、外分の問題からはじまり、位置ベクトルではない通常のベクトル、位置ベクトルを使った場合の違いを理解するための構成となっています。初歩のうちは、位置ベクトル用いて解いているのか、そうでないベクトルなのか混同しやすいので、その点を意識して解いてください。ベクトルの連立方程式を立てて解けるまでマスターしてください。）

Lesson

（２点の内分点、外分点を求めることができるか確認します）

1. A(1, 0) と B(4, 0) の中点を求めよ。
2. A(1, 0) と B(5, 0) を 1 : 2 の比に内分する点を求めよ。
3. A($a$, 0) と B($b$, 0) を $m:n$ の比に内分する点を求めよ。
4. A(1, 0) と B(5, 0) を 1 : 2 の比に外分する点を求めよ。

   （三角形の辺の内分点、外分点は、位置ベクトルでも通常のベクトルでも同じ結果になることを確認します）

5. △OABの、線分ABを1 : 2の比に内分する点をCとする。
   1. $\Vec{OC}$ を $\Vec{OA},\ \Vec{OB}$ を用いて表せ。
   2. 点Cの位置ベクトルを、点A 、B の各位置ベクトル $\vec a、\vec b$ を用いて表せ。
6. △OABの、線分AB を2 : 1の比に外分する点を C とする。
   1. $\Vec{OC}$ を $\Vec{OA},\ \Vec{OB}$ を用いて表せ。
   2. 点 $\rm{C}$ の位置ベクトルを、点 $\rm{A}、\rm{B}$ の各位置ベクトル $\vec a、\vec b$ を用いて表せ。
      * $2 : 1$ の比に外分 $= 2 : -1$ の比に内分
7. △OABの、線分 $\rm{AB}$ を $m : n$ の比に内分する点を $\rm{C}$ とする。
   1. $\Vec{OC}$ を $\Vec{OA}、\Vec{OB}$ を用いて表せ。
   2. 点 $\rm{C}$ の位置ベクトルを、点 $\rm{A}、\rm{B}$ の各位置ベクトル $\vec a、\vec b$ を用いて表せ。
8. △OABの、線分 $\rm{AB}$ を $m : n$ の比に外分する点を $\rm{C}$ とする。
   1. $\Vec{OC}$ を $\Vec{OA}、\Vec{OB}$ を用いて表せ。
   2. 点 $\rm{C}$ の位置ベクトルを、点 $\rm{A}、\rm{B}$ の各位置ベクトル $\vec a、\vec b$ を用いて表せ。
      * $m : n$ の比に外分 $= m : -n$ の比に内分

   （三角形の重心は、位置ベクトルと通常のベクトルとでは異なる結果になることを確認します）

9. △ABCの重心を $\rm{G}$ とする。
   1. $\Vec{AG}$ を、$\Vec{AB}、\Vec{AC}$ を用いて表せ。
   2. 点 $\rm{G}$ の位置ベクトルを、点 $\rm{A}、\rm{B}、\rm{C}$ の各位置ベクトル $\vec a、\vec b、\vec c$ を用いて表せ。

   （通常のベクトルでは、すべてのベクトルの始点を共通にして、２つのベクトルのみで表すことが方針となります。位置ベクトルでは３つのベクトルのみで表すように努めます）

10. 平面上の△ABCの重心を $\rm{G}$ とし、その平面上の任意の点を $\rm{P}$ とするとき、$\Vec{AP}+\Vec{BP}+\Vec{CP}=3\Vec{GP}$ であることを示したい。
    1. 点 $\rm{A}$ を始点とするベクトル、$\Vec{AB}、\Vec{AC}、\Vec{AG}、\Vec{AP}$ を用いて証明せよ。
    2. 点 $\rm{A}、\rm{B}、\rm{C}、\rm{G}、\rm{P}$ の各位置ベクトル $\vec a、\vec b、\vec c、\vec g、\vec p$ を用いて証明せよ。
11. △ABCと点 $\rm{D}$ があり、等式 $3\Vec{AD}+2\Vec{BD}+\Vec{CD}=\vec 0$ が成り立っているとき、次のことを示せ。
    1. $\vec b=\Vec{AB}、\vec c=\Vec{AC}、\vec d=\Vec{AD}$ とすると、$\vec d=\frac{2\vec b+\vec c}{6}$ である。
    2. 辺 $\rm{BC}$ を1:2の比に内分する点を $\rm{E}$ とすると、点 $\rm{D}$ は線分 $\rm{AE}$ の中点である。
12. △ABCの辺 $\rm{BC}$ を$3:1$の比に内分する点を $\rm{D}$ とし、線分 $\rm{AD}$ を$4:1$の比に内分する点を $\rm{E}$ とする。
    1. $\vec b=\Vec{AB}、\vec c=\Vec{AC}$ を用いて $\Vec{AE}、\Vec{BE}$ を表せ。
    2. 点 $\rm{E}$ の位置ベクトルを、点 $\rm{A}、\rm{B}、\rm{C}$ の各位置ベクトル $\vec a、\vec b、\vec c$ を用いて表せ。
13. △ABCにおいて、辺 $\rm{AB}$ を$2:1$の比に内分する点を $\rm{D}$ 、辺 $\rm{AC}$ の中点を $\rm{E}$ とし、線分 $\rm{BE}$ 、 $\rm{CD}$ の交点を $\rm{F}$ とする。 *
    1. $\Vec{AF}$ を、$\vec b=\Vec{AB}、\vec c=\Vec{AC}$ を用いて表せ。
    2. 点 $\rm{F}$ の位置ベクトルを、点 $\rm{A}、\rm{B}、\rm{C}$ の各位置ベクトル $\vec a、\vec b、\vec c$ を用いて表せ。
    
    （以下は応用問題。余力があればトライしてみてください。）
14. △ABCの辺 $\rm{AB}$ を2:1の比に内分する点を $\rm{D}$ 、辺 $\rm{AC}$ を1:2の比に内分する点を $\rm{E}$ とし、線分 $\rm{BE}$ と $\rm{CD}$ の交点を $\rm{F}$ とする。線分 $\rm{AF}$ の延長と辺 $\rm{BC}$ の交点を $\rm{G}$ とする。
    1. $\Vec{AG}$ を、$\vec b=\Vec{AB}、\vec c=\Vec{AC}$ を用いて表せ。
    2. $\rm{BG:GC}$を求めよ。
15. △ABCにおいて、辺 $\rm{AB}$ を2:3の比に内分する点を $\rm{D}$ 、辺 $\rm{BC}$ を3:1の比に外分する点を $\rm{E}$ 、辺 $\rm{CA}$ を1:2の比に内分する点を $\rm{F}$ とするとき、3点 $\rm{D}、\rm{E}、\rm{F}$ は同じ直線上にあることを証明せよ。
16. △ABCにおいて辺 $\rm{AB}$ の中点を $\rm{D}$ 、辺 $\rm{AC}$ を2:1の比に内分する点を $\rm{E}$ とし、線分 $\rm{CD}$ の中点を $\rm{F}$ とする。点 $\rm{F}$ は直線 $\rm{BE}$ 上にあることを証明せよ。

Answer

1. $(\frac{5}{2},0)$
   （考え方１）ABの半分$\frac{3}{2}$をAに加える　$1+\frac{3}{2}$
   （考え方２）ABの半分$\frac{3}{2}$をBから引く　$4-\frac{3}{2}$
   （考え方３）AとBの（加重）平均　$\frac{1}{2}\times 1+\frac{1}{2}\times 4$

2. $(\frac{7}{3},0)$
   （考え方１）ABの$\frac{1}{3}$の$\frac{4}{3}$をAに加える　$1+\frac{4}{3}$
   （考え方２）ABの$\frac{2}{3}$の$\frac{8}{3}$をBから引く　$5-\frac{8}{3}$
   （考え方３）AとBの加重平均（逆比）　$\frac{2}{3}\times 1+\frac{1}{3}\times 5$

3. $(\frac{na+mb}{m+n},0)$
   （考え方１）ABの$\frac{m}{m+n}$をAに加える　$a+\frac{m}{m+n}(b-a)$
   （考え方２）ABの$\frac{n}{m+n}$をBから引く　$b-\frac{n}{m+n}(b-a)$
   （考え方３）AとBの加重平均（逆比）　$\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b$
   （前問の1:2に内分する具体的な場合と照らし合わせて見よ）
4. $(-3,0)$
   -1：2に内分と考えAとBの加重平均として求める　$\frac{2}{1}\times 1-\frac{1}{1}\times 5$
   

1. $\Vec{OC}=\frac{2}{3}\Vec{OA}+\frac{1}{3}\Vec{OB}$
2. $\frac{2}{3}\vec a+\frac{1}{3}\vec b$
   位置ベクトルの共通の始点O'はどこでもよく、原点Oでもよいので(1)と同じ答えになる。

6. 1. $\Vec{OC}=-\Vec{OA}+2\Vec{OB}$　
   2. $-\vec a+2\vec b$
7. 1. $\Vec{OC}=\frac{n\Vec{OA}+m\Vec{OB}}{m+n}$　
   2. $\frac{n\vec a+m\vec b}{m+n}$
8. 1. $\Vec{OC}=\frac{-n\Vec{OA}+m\Vec{OB}}{m-n}$　
   2. $\frac{-n\vec a+m\vec b}{m-n}$
9. 1. $\Vec{AG}=\frac{2}{3}\Vec{AM}=\frac{2}{3}\frac{\Vec{AB}+\Vec{AC}}{2}=\frac{\Vec{AB}+\Vec{AC}}{3}$
   2. $\vec g=\frac{1}{3}\vec a+\frac{2}{3}\vec m=\frac{1}{3}\vec a+\frac{2}{3}\frac{\vec b+\vec c}{2}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}$

10. 1. $\Vec{AP}+\Vec{BP}+\Vec{CP}$
       $\begin{align} &=\Vec{AP}+(\Vec{AP}-\Vec{AB})+(\Vec{AP}-\Vec{AC})\\ &=3\Vec{AP}-(\Vec{AB}+\Vec{AC})\\ &=3\Vec{AP}-3\Vec{AG}\\ &=3\Vec{GP} \end{align}$
    2. $\Vec{AP}+\Vec{BP}+\Vec{CP}$
       $\begin{align} &=\vec p-\vec a+\vec p-\vec b+\vec p-\vec c\\ &=3\vec p-(\vec a+\vec b+\vec c)\\ &=3\vec p-3\vec g\\ &=3\Vec{GP} \end{align}$
11. 1. $3\Vec{AD}+2\Vec{BD}+\Vec{CD}$
       $=3\vec d+2(\vec d-\vec b)+(\vec d-\vec c)\\ =6\vec d-2\vec b-\vec c=\vec 0$
       これを$\vec d$が左辺となるように変形
    2. $\Vec{AD}=\frac{2\vec b+\vec c}{6}=\frac{1}{2}\frac{2\vec b+\vec c}{3}=\frac{1}{2}\Vec{AE}$
       $\frac{2\vec b+\vec c}{6}$の分母を、ちょうどBCの内分点となる 3 にするのがポイント
12. 1. $\Vec{AE}=\frac{4}{5}\Vec{AD}=\frac{4}{5}\frac{\vec b+3\vec c}{4}=\frac{\vec b+3\vec c}{5}$
       　$\Vec{BE}=\Vec{AE}-\Vec{AB}=\frac{-4\vec b+3\vec c}{5}$
    2. $\vec d=\frac{\vec b+3\vec c}{4}$,　$\vec e=\frac{\vec a+4\vec d}{5}=\frac{\vec a+\vec b+3\vec c}{5}$
13. 1. $\Vec{AF}=\frac{1}{2}\vec b+\frac{1}{4}\vec c$
       （導出）
       BF:FE$=1-x:x$
       $\begin{align} \Vec{AF}&=x \Vec{AB} + (1-x) \Vec{AE}\\ &=x \Vec{AB} + \frac{1}{2}(1-x) \Vec{AC}\\ \end{align}$
       CF:FD$=1-y:y$
       $\begin{align} \Vec{AF}&=y \Vec{AC} + (1-y) \Vec{AD}\\ &=\frac{2}{3}(1-y) \Vec{AB} + y\Vec{AC}\\ \end{align}$
        
       $\begin{cases} x=\frac{2}{3}(1-y)\\ \frac{1}{2}(1-x)=y\\ \end{cases}$
    2. $\frac{\vec a+2\vec b+\vec c}{4}$
       （導出）
       $\begin{align} \vec d=\frac{1}{3} \vec a + \frac{2}{3} \vec b\\ \vec e=\frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{2} \vec c\\ \end{align}$
       BF:FE$=1-x:x$
       $\begin{align} \vec f&=x \vec b + (1-x) \vec e\\ &=x \vec b + \frac{1}{2}(1-x) \vec a + \frac{1}{2}(1-x) \vec c\\ \end{align}$
       CF:FD$=1-y:y$
       $\begin{align} \vec f&=y \vec c + (1-y) \vec d\\ &=y \vec c + \frac{1}{3}(1-y) \vec a + \frac{2}{3}(1-y) \vec b\\ \end{align}$
14. 1. $\Vec{AG}=\frac{4\vec b+\vec c}{5}$　
    2. $1:4$
15. $\vec b=\Vec{AB},\ \vec c=\Vec{AC}$のみで表す。
    $\Vec{AD}=\frac{2}{5}\vec b,\ \Vec{AE}=\frac{-\vec b+3\vec c}{2},\ \Vec{AF}=\frac{2}{3}\vec c$
    $\Vec{DE}=\frac{-9\vec b+15\vec c}{10},\ \Vec{DF}=\frac{-6\vec b+10\vec c}{15}$
    $\Vec{DF}=\frac{4}{9}\Vec{DE}$　点FはDEを4:5に内分する点
16. $\Vec{AF}=\frac{\Vec{AD}+\Vec{AC}}{2}=\frac{\Vec{AB}+2\Vec{AC}}{4}=\frac{\Vec{AB}+3\Vec{AE}}{4}$
    点FはBEを3:1に内分する点

Lesson 3D

1. 四面体 $\rm{ABCD}$ において、$\triangle\rm{BCD}$ の重心を $\rm{E}$ とし、線分 $\rm{AE}$ を3:1の比に内分する点を $\rm{G}$ とする。
   1. $\Vec{AG}$ を $\vec p=\Vec{AB}、\vec q=\Vec{AC}、\vec r=\Vec{AD}$ で表せ。
   2. 点 $\rm{G}$ の位置ベクトルを、点 $\rm{A}、\rm{B}、\rm{C}、\rm{D}$ の各位置ベクトル $\vec a、\vec b、\vec c、\vec d$ を用いて表せ。
2. 四面体 $\rm{ABCD}$ の辺 $\rm{AB}、\rm{CD}$ の中点を、それぞれ $\rm{E}、\rm{F}$ とし、線分EFの中点をGとする。
   1. $\Vec{AG}$ を $\vec p=\Vec{AB}、\vec q=\Vec{AC}、\vec r=\Vec{AD}$ で表せ。
   2. 点 $\rm{G}$ の位置ベクトルを、点 $\rm{A}、\rm{B}、\rm{C}、\rm{D}$ の各位置ベクトル $\vec a、\vec b、\vec c、\vec d$ を用いて表せ。
3. 平行六面体 $\rm{ABCD-EFGH}$ において、対角線 $\rm{BH}$ の中点を $\rm{P}$ とする。
   1. $\Vec{AP}$ を $\vec p=\Vec{AB}、\vec q=\Vec{AD}、\vec r=\Vec{AE}$ で表せ。
   2. 点 $\rm{P}$ の位置ベクトルを、点 $\rm{A}、\rm{B}、\rm{D}、\rm{E}$ の各位置ベクトル $\vec a、\vec b、\vec d、\vec e$ を用いて表せ。
4. 四面体 $\rm{ABCD}$ の辺 $\rm{BC}$ を2:1の比に内分する点を $\rm{E}$ とし、線分 $\rm{DE}$ を3:2の比に内分する点を $\rm{F}$ とする。
   1. $\Vec{AF}$ を $\vec p=\Vec{AB}、\vec q=\Vec{AC}、\vec r=\Vec{AD}$ で表せ。
   2. 点 $\rm{F}$ の位置ベクトルを、点 $\rm{A}、\rm{B}、\rm{C}、\rm{D}$ の各位置ベクトル $\vec a、\vec b、\vec c、\vec d$ を用いて表せ。
5. 四面体 $\rm{ABCD}$ の辺 $\rm{CD}$ の中点を $\rm{E}$ とし、線分 $\rm{BE}$ を2:1の比に内分する点を $\rm{F}$ 、また、線分 $\rm{AF}$ を3:1の比に外分する点を $\rm{G}$ とする。
   1. $\Vec{AG}$ を $\vec p=\Vec{AB}、\vec q=\Vec{AC}、\vec r=\Vec{AD}$ で表せ。
   2. 点 $\rm{G}$ の位置ベクトルを、点 $\rm{A}、\rm{B}、\rm{C}、\rm{D}$ の各位置ベクトル $\vec a、\vec b、\vec c、\vec d$ を用いて表せ。
6. 平行六面体 $\rm{ABCD-EFGH}$ において、$\triangle\rm{BDE}$ の重心を $\rm{P}$ とする。
   1. 点 $\rm{A}、\rm{P}、\rm{G}$ は一直線上にあることを示せ。
   2. $\rm{AP : PG}$ を求めよ。
7. 空間中の互いに位置の異なる４点 $\rm{A}、\rm{B}、\rm{C}、\rm{D}$ において、$\Vec{AC}+\Vec{BD}=2\Vec{AD}$ が成り立つとき、辺 $\rm{AB}、\rm{CD}$ は平行であることを示せ。

Answer

1. 1. $\Vec{AG}=\frac{\vec p+\vec q+\vec r}{4}$
   2. $\frac{\vec a+\vec b+\vec c+\vec d}{4}$
2. 1. $\Vec{AG}=\frac{\vec p+\vec q+\vec r}{4}$
   2. $\frac{\vec a+\vec b+\vec c+\vec d}{4}$
3. 1. $\Vec{AP}=\frac{\vec p+\vec q+\vec r}{2}$
   2. $\frac{-\vec a+\vec b+\vec d+\vec e}{2}$
4. 1. $\Vec{AF}=\frac{\vec p+2\vec q+2\vec r}{5}$
   2. $\frac{\vec b+2\vec c+2\vec d}{5}$
5. 1. $\Vec{AG}=\frac{\vec p+\vec q+\vec r}{2}$
   2. $\frac{-\vec a+\vec b+\vec c+\vec d}{2}$
6. 1. $\Vec{AG}=3\Vec{AP}$
   2. $1:2$
7. 与式をAを始点とするベクトルのみで表すと $\Vec{AC}-\Vec{AB}=\Vec{AD}$
   これを変形すると $-\Vec{AB}=\Vec{CD}$ よって AB $\parallel$ CD

【事後学習】 位置ベクトルとそうでないベクトルの違い、連立ベクトル方程式の解法を復習しておきましょう。

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