【事前学習】 高校のベクトル単元のベクトルの内積について復習しておきましょう。
ベクトルの内積
Inner Product
ベクトルに内積という概念を導入することにより、特に角度に関する問題をベクトルを用いて解くことが可能になる。
内積は演算子「・」で表され、以下の式で定義される。ただし、$\theta$ は、$\vec a$ と $\vec b$ のなす角である。
\[\vec a \cdot \vec b = |\vec a| |\vec b| \cos \theta\]
内積の演算子については、以下の交換法則および分配法則などが成り立つ。
$\vec a \cdot \vec b=\vec b \cdot \vec a$
$\vec a \cdot (\vec b+\vec c)=\vec a \cdot \vec b+\vec a \cdot \vec c$ *
$\vec a \cdot (k\vec b)=(k\vec a) \cdot \vec b=k(\vec a \cdot \vec b)$ ただし $k$ は実数
$\vec a \cdot \vec a=|\vec a|^2$
* $\vec b+\vec c$の$\vec a$への正射影の長さ$=\vec b$の$\vec a$への正射影の長さ $+\ \vec c$の$\vec a$への正射影の長さ
$|\vec b+\vec c| \cos \theta = |\vec b| \cos \beta + |\vec c| \cos \gamma$
Lesson
- $|\vec a|=2、|\vec b|=5、\vec a$ と $\vec b$ のなす角を $\theta$ として、
次の各場合の内積 $\vec a \cdot \vec b$ を求めよ。
- $\theta=30$°
- $\theta=150$°
- 正六角形$\mathrm{ABCDEF}$ において、$\mathrm{AB} = 2$ とする。次の内積を求めよ。
- $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}$
- $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
- $\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}$
- $\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}$
- $\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}$
- $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
- 一辺の長さが $1$ の正三角形$\mathrm{ABC}$ で、辺$\mathrm{BC}$ の3等分点を、$\mathrm{B}$ から近い順に$\mathrm{M}$、$\mathrm{N}$ とし、$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\vec m$、$\overrightarrow{\mathrm{AN}}=\vec n$ とおくとき、$\vec m、\vec n$ の内積を求めよ。
- $|\vec a|=3, |\vec b|=2$ で、$\vec a$ と $\vec b$ のなす角が 60°であるとき、ベクトル $\vec a-2\vec b$ の大きさを求めよ。
- $|\vec a|=2, |\vec b|=1$ で、ベクトル $\vec a+\vec b, 2\vec a-5\vec b$ が垂直であるとき、$\vec a$ と $\vec b$ のなす角を求めよ。
- $|\vec a|=2, |\vec b|=1、|\vec a-\vec b|=\sqrt{7}$ であるとき、$\vec a$ と $\vec b$ のなす角を求めよ。*
- 2つのベクトル $2\vec a-\vec b$ と $\vec a+3\vec b$ の大きさが等しく、$\vec a$ と $\vec b$ の大きさも等しいとき、$\vec a$と$\vec b$ のなす角を求めよ。
- $3|\vec a|=|\vec b|≠0$ で、$3\vec a-2\vec b$ と $15\vec a+4\vec b$ が垂直であるとき、2 つのベクトル $\vec a$、$\vec b$ のなす角はいくらか。
- $\vec a-\frac{2}{5}\vec b$ と $\vec a+\vec b$ が垂直、$\vec a$ と $\vec a-\vec b$ が垂直であるとき、$\vec a$ と $\vec b$ のなす角を求めよ。
Answer
- $5\sqrt 3$ ($|\vec a||\vec b| \cos 30$°$=2\cdot 5 \cdot\frac{\sqrt 3}{2})$
- $-5\sqrt 3$
- $-2$
- $2$
- $4$
- $8$
- $0$
- $6$ $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}})=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2+\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
- $\frac{13}{18}$ $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\vec m$ と $\overrightarrow{\mathrm{AN}}=\vec n$ を $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec b$ と $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec c$ だけで表す
$\vec m\cdot\vec n=(\frac{2}{3}\vec b+\frac{1}{3}\vec c)\cdot(\frac{1}{3}\vec b+\frac{2}{3}\vec c)=\frac{2}{9}|\vec b|^2+\frac{5}{9}\vec b\cdot\vec c+\frac{2}{9}|\vec c|^2$ - $\sqrt {13}$ $|\vec a-2\vec b|^2=(\vec a-2\vec b)\cdot(\vec a-2\vec b)=|\vec a|^2-4\vec a \cdot \vec b +4|\vec b|^2$
- $60^\circ$ $(\vec a+\vec b)\cdot(2\vec a-5\vec b)=0$
- $120^\circ$ $|\vec a-\vec b|^2=(\vec a-\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=|\vec a|^2-2\vec a \cdot \vec b +|\vec b|^2=7$
- $120^\circ$ $|2\vec a-\vec b|^2=|\vec a+3\vec b|^2$ ($|\vec b|$ を消去して$|\vec a|$ のみにする)
- $120^\circ$ $(3\vec a-2\vec b)\cdot(15\vec a+4\vec b)=0$
- $60^\circ$ $\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}|\vec a|^2+\frac{3}{5}\vec a \cdot \vec b -\frac{2}{5}|\vec b|^2=0 \\ |\vec a|^2-\vec a \cdot \vec b=0\end{array}\right.\end{eqnarray}$ より $|\vec b|=2|\vec a|$、あとは前問と同じ手順
Lesson 3D
- 四面体$\mathrm{ABCD}$ において、次の等式が成り立つならば、$\mathrm{AD}$⊥$\mathrm{BC}$ であることを証明せよ。
$\mathrm{AB}^2+\mathrm{CD}^2=\mathrm{AC}^2+\mathrm{BD}^2$ - 四面体$\mathrm{OABC}$ において、$\mathrm{OA}$⊥$\mathrm{BC}$ 、$\mathrm{OB}$⊥$\mathrm{CA}$ ならば、$\mathrm{OC}$⊥$\mathrm{AB}$ であることを証明せよ。
- 正四面体$\mathrm{OABC}$ の $\mathrm{1}$辺の長さを $a$ として、内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ を求めよ。
- どの辺の長さも2である正四角錐$\mathrm{OABCD}$ において、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec a$ 、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec b$ 、$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec c$ とおく。辺$\mathrm{OA}$ の中点を$\mathrm{M}$ とする。
- $\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ 、$\overrightarrow{\mathrm{MC}}$ を $\vec a$ 、$\vec b$ 、$\vec c$ で表せ。
- 内積$\overrightarrow{\mathrm{MB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MC}}$ の値を求めよ。
- 正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$ 、$\mathrm{CD}$ の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$ 、$\mathrm{N}$ とし、線分$\mathrm{MN}$ の中点を$\mathrm{G}$ 、∠$\mathrm{AGB}$ = $\theta$とする。このとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。
- 辺の長さが $1$ の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$ がある。
- $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ 、$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$ の大きさを求めよ。
- $\overrightarrow{\mathrm{DF}}=\overrightarrow{\mathrm{DE}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}}$ であることに注意して内積$\overrightarrow{\mathrm{DE}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DF}}$ を求めよ。
- ∠$\mathrm{EDF}$ の余弦の値を求めよ。
- $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ 、$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$ の大きさを求めよ。
Answer
- $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec b$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec c$、$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec d$ を用いて表す。
（別解）点$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ の位置ベクトル $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$, $\vec d$ を用いて表す。 - $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec a$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec b$、$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec c$ を用いて表す。
- $0$ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec a$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec b$、$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec c$ を用いて表す。
- $\overrightarrow{\mathrm{MB}}=-\frac{1}{2}\vec a + \vec b , \overrightarrow{\mathrm{MC}}=-\frac{1}{2}\vec a + \vec c$
- $2$
- $-\frac{1}{3}$ 正四面体の辺の長さを1とすると $|\overrightarrow{\mathrm{GA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{GB}}|=\sqrt{\frac{3}{8}}$、$\overrightarrow{\mathrm{GA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{GB}}=-\frac{1}{8}$
- $\left|\overrightarrow{\mathrm{DE}}\right|=\sqrt 2 , \left|\overrightarrow{\mathrm{DF}}\right|=\sqrt 3$
- 2
- $\frac{\sqrt 6}{3}$
【事後学習】 内積の値と角度との関係をイメージできるようになりましょう。
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