【事前学習】 高校のベクトル単元のベクトル方程式について復習しておきましょう。

ベクトル方程式
Vector Equation

本章ではベクトルで幾何学図形を定義する方法について学びます。ベクトルで立てた方程式を成分で表せば、$x,y,z$ の方程式を導くことができます。

Lesson

1. 点 $\mathrm{A}(1, 2)$を通り、ベクトル $\vec n=(4, 3)$ に垂直な直線について次の問いに答えよ。*
   1. 直線上の任意の点を $\mathrm{P}(x, y)$とするとき、$\Vec{AP}$ と $\vec n$ との間に成り立つ関係を式で表せ。
   2. 直線の方程式を求めよ。
2. 原点 $\mathrm{O}$ から直線 $l$ にひいた垂線の足が $\mathrm{H}(4, -3)$ であるとき、直線 $l$ の方程式を求めよ。
3. 点 $\mathrm{A}(1, 2)$ を通り、直線 $2x-3y=0$ に平行な直線を求めよ。
4. 平面上に原点 $\mathrm{O}$ と点 $\mathrm{A}(1, 2)$ がある。
   1. この平面上で $\Vec{OP}\cdot\Vec{OA}=1$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。
   2. $|\Vec{OP}|$ の最小値を求めよ。
5. 点 $\mathrm{A}(p, q)$とベクトル $\vec n=(a, b)$ について次の問いに答えよ。
   1. 点 $\mathrm{A}$ を通り、ベクトル $\vec n$ に垂直な直線を求めよ。
   2. 1) の直線と原点との距離を求めよ。
6. 平面上に原点 $\mathrm{O}$ と点 $\mathrm{A}(2, 1)$、点 $\mathrm{B}(1, 3)$ がある。*
   1. $\angle\mathrm{AOB}$ の2等分線上の任意の点を $\mathrm{P}(x, y)$ として、$\Vec{OA}、\Vec{OB}、\Vec{OP}$ の間に成り立つベクトル方程式を示せ。
   2. $\angle\mathrm{AOB}$ の2等分線を示す方程式を求めよ。
7. 平面上の点 $\mathrm{A}(1, 2)$ からの距離が 5 である点 $\mathrm{P}$ について次の問いに答えよ。
   1. $\Vec{AP}$ に成り立つベクトル方程式を示せ。
   2. 点 $\mathrm{P}$ の軌跡を示す方程式を求めよ。
8. 平面上に２点 $\mathrm{A}(-r, 0)$、 $\mathrm{B}(r, 0)$ がある。この平面上で $\Vec{AP}\cdot\Vec{BP}=0$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。
9. ２点 $\mathrm{A}(-2, 3)$、$\mathrm{B}(4, 0)$ を直径の両端とする円の方程式を求めよ。

Answer

1. 1. $\Vec{AP}\cdot\vec n=0$
   2. $4x+3y=10$　$\Vec{AP}=(x-1,y-2),\ \vec n=(4,3),\ \Vec{AP}\cdot\vec n=4(x-1)+3(y-2)=0$
   
2. $4x-3y=25$　直線 $l$ 上の点をP$(x,y)$とおく。$\Vec{OH}\cdot\Vec{HP}=0$
3. $2x-3y+4=0$　法線ベクトルは共に$(2,-3)$　$2(x-1)-3(y-2)=0$
4. 1. 直線 $x+2y=1$
      
   2. $\frac{1}{\sqrt 5}$　$(\Vec{OP}\cdot\Vec{OA}=|\Vec{OP}||\Vec{OA}|\cos \theta=1,\ |\Vec{OP}|\cos \theta=\frac{1}{\sqrt 5},\ \cos \theta=1$のとき$|\Vec{OP}|$は最小)
5. 1. $a(x-p)+b(y-q)=0$ $\Vec{AP} \cdot\vec n = (\Vec{OP}-\Vec{OA}) \cdot\vec n =0$
      
   2. $\frac{|ap+bq|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ $\Vec{OA} \cdot\vec n = |\Vec{OA}||\vec n|\cos \theta,\ |\Vec{OA}|\cos\theta=\frac{\Vec{OA} \cdot\vec n}{|\vec n|}=\frac{ap+bq}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \cos \theta$ が負の場合もあるので絶対値を付ける
6. 1. $\frac{\Vec{OA} \cdot \Vec{OP}}{|\Vec{OA}|}=\frac{\Vec{OB} \cdot \Vec{OP}}{|\Vec{OB}|}$ または $\Vec{OP}=t (\frac{1}{\sqrt{5}}\Vec{OA}+\frac{1}{\sqrt{10}}\Vec{OB})$ 係数比が $\sqrt 2:1$ ならよい
   2. $\sqrt 2 (2x+y)=x+3y,\ y=\frac{2\sqrt 2-1}{3-\sqrt 2}x,\ $$3+2\sqrt 2$を分子と分母に掛けて
      $y=\frac{1+5\sqrt{2}}{7}x$ 有理化して左と同じになればよい
   
7. 1. $|\Vec{AP}|=5$
   2. $(x-1)^2+(y-2)^2=25$
8. $x^2+y^2=r^2$
9. $\Vec{AP}\cdot\Vec{BP}=0$より $(x+2)(x-4)+(y-3)y=0$ or $(x-1)^2+(y-\frac{3}{2})^2=\frac{45}{4}$ （直径に対する円周角は直角）

Lesson 3D

1. 点 $\rm{A}(1, 3, -2)$ を通り、ベクトル $\vec n=(3, -2, 1)$ に垂直な平面について次の問いに答えよ。*
   1. 平面上の任意の点を $\rm{P}$ とするとき、$\Vec{AP}$ と $\vec n$ との間に成り立つ関係を式で表せ。
   2. 平面の方程式を求めよ。
2. 原点 $\mathrm{O}$ から平面 $S$ にひいた垂線の足が $\rm{H}(4, 3, -2)$ であるとき、平面 $S$ の方程式を求めよ。
3. 点 $\rm{A}(1, 2, 3)$ を通り、平面 $2x-3y+5z=0$ に平行な平面を求めよ。
4. 空間内に原点 $\mathrm{O}$ と点 $\rm{A}(1, 2, 3)$ がある。
   1. この空間内で $\Vec{OP}\cdot\Vec{OA}=1$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。
   2. $|\Vec{OP}|$ の最小値を求めよ。
5. 点 $\rm{A}(p, q, r)$とベクトル $\vec n=(a, b, c)$ について次の問いに答えよ。
   1. 点 $\rm{A}$を通り、ベクトル $\vec n$ に垂直な平面を求めよ。
   2. 1) の平面と原点との距離を求めよ。
6. ３点 $\rm{A}(1, -1, 1)、\rm{B}(-2, 3, 1)$、 $\rm{C}(1, 3, 0)$ を通る平面について次の問いに答えよ。
   1. 平面の法線ベクトル $\vec n$ を外積を使って求めよ。
   2. 平面の方程式を求めよ。
7. 空間内の点 $\rm{A}(1, 3, -2)$ からの距離が5である点 $\rm{P}$ について次の問いに答えよ。
   1. $\Vec{AP}$ に成り立つベクトル方程式を示せ。
   2. 点 $\mathrm{P}$ の軌跡を示す方程式を求めよ。
8. 空間内に２点 $\rm{A}(-r, 0, 0)、\rm{B}(r, 0, 0)$ がある。$\Vec{AP}\cdot\Vec{BP}=0$ を満たす点 $\rm{P}$ の軌跡を求めよ。
9. ２点 $\rm{A}(-2, 3, -1)、\rm{B}(4, 0, -3)$ を直径の両端とする球の方程式を求めよ。

Answer

1. 1. $\Vec{AP}\cdot\vec n=0$
   2. $3x-2y+z=-5$
2. $4x+3y-2z=29$
3. $2x-3y+5z=11$
4. 1. 平面 $x+2y+3z=1$
   2. $\frac{1}{\sqrt {14}}$($|\Vec{OP}||\Vec{OA}|\cos\theta=1$で$\cos\theta=1$の時)
5. 1. $a(x-p)+b(y-q)+c(z-r)=0$
   2. $\frac{|ap+bq+cr|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
6. 1. $(4, 3, 12)$（定数倍、逆向きのベクトルでも良い）
   2. $4x+3y+12z=13$
7. 1. $|\Vec{AP}|=5$
   2. $(x-1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=25$
8. $x^2+y^2+z^2=r^2$
9. $(x+2)(x-4)+(y-3)y+(z+1)(z+3)=0$
   別解 $(x-1)^2+(y-\frac{3}{2})^2+(z+2)^2=\frac{49}{4}$

【事後学習】 ベクトル方程式のオーソドックスな立式パターンをマスターしておきましょう。

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